【汇旺担保】 解析函式项级数

10/17/2022
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[拼音]:jiexi hanshuxiang jishu

[外文]:series of analytic functions

由解析函式组成的级数。在实分析中,可导函式的一致收敛级数不一定可导。例如由外尔斯特拉斯定理知道,在[α,b]上连续的任何函式可表示为一致收敛的多项式级数。在复分析中有不同的结果:一致收敛的解析函式项级数是解析函式。

设ƒn(z)(n=1,2,…)是在区域D内连续的函式。如果对任何紧集K嶅D以及任何ε>0,存在著正整数N=N(K,ε),使得对n≥N及任何z∈K,

,则称级数

(简写为

)在D内任何紧集上一致收敛。如果对任何紧集K嶅D,级数

收敛,则称

在D内任何紧集上正规收敛。正规收敛性在应用中是常见的;显然,如果

在D内任何紧集上正规收敛,那么它在这种集上一致收敛。

应用柯西公式(见柯西积分定理),K.外尔斯特拉斯证明了下列定理:设ƒn(z)(n=1,2,…)在区域 D 内解析,如果

在D内任何紧集上一致收敛,那么它的和ƒ(z)在D内解析,而且在D内,

,此式右边的级数在D内任何紧集上一致收敛。如果

在D内任何紧集上正规收敛,那么级数

在D内任何紧集上也正规收敛。

形如

(简记为

,式中αn和z0为复数)的级数是一种特殊的解析函式项级数,称为幂级数。

对于这种级数有下列阿贝尔引理:设

在z1≠z0收敛。则对满足

的任何z,级数绝对收敛。

由这引理出发,可以证明任何幂级数

属于下列三种情况之一。

(2)对任何z≠z0,级数发散;这时称级数的收敛半径为0。

(3)对任何z,级数收敛,从而在任何紧集上正规收敛;这时称级数的收敛半径为+∞。

由外尔斯特拉斯定理,在第一种情况下,幂级数在收敛圆盘内解析,并且可逐项求导数;在第三种情况下,幂级数表示一整函式(即在整个有限复平面解析的函式),并且可在有限复平面内逐项求导数。

在第一种情况下,幂级数在其收敛圆上的点可能收敛,也可能发散。例如

的收敛半径都是1,而在收敛圆周上,第三个级数处处收敛;第一个级数处处发散;第二个级数在-1收敛,在1发散(可证明它在收敛圆周上除去1外处处收敛)。对于在圆周上某些点收敛的幂级数,有下列阿贝尔-施托尔茨定理:设幂级数

幂级数

的收敛半径R可以用下列柯西-阿达马公式求出:

当上式右边中分子为+∞时,R=0;当它为0时,R=+∞。

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